Analyseobjekt- und vorlage Zeit-Frequenz-Spektralanalyse – Kontinuierliche Wavelet Transformation (CWT) Spektrum
Die Kontinuierliche Wavelet Transformation (CWT=Continuous Wavelet Transform) Spektralprozedur stellt die Kontinuierliche Wavelet Transformation in einem begrenzten 3D Spektralformat dar. Die CWT ist eine "Multiresolution" Zeit-Frequenz-Methode, welche sich insbesondere für Daten eignet, von denen bekannt ist, dass diese nicht stationär sind. Sie kann auch dazu angewendet werden, um zu prüfen, ob Daten als weit reichend stationär eingestuft werden können, was von vielen anderen Spektralverfahren vorausgesetzt wird.
Spektrumtyp
Das Zeit-Frequenz-Spektrum kann in einer Vielzahl von Formaten ausgegeben werden. In der folgenden Tabelle ist Re der Realteil der FFT für eine gegebene Frequenz, Im ist der Imaginärteil, n ist die Größe des Datensatzes, δX ist das Abtastintervall und σ² ist die Varianz des Datensatzes.
Spektrumtyp |
Formel/Beschreibung |
|---|---|
dB |
10 * log10(Re² + Im²) |
dB, normiert |
10 * log10(Re² + Im²) - dBmax Dezibel, normiert auf 0 für den Zeit-Frequenz-Knoten mit der höchsten Leistung. |
Integral=TISA |
δX * (Re² + Im²) / 2 Das Oberflächenintegral entspricht TISA (Time-Integral Squared Amplitude) Leistung. |
Integral=MSA |
(Re² + Im²) / n / 2 Das Oberflächenintegral entspricht MSA (Mean Squared Amplitude) Leistung. |
Integral=SSA |
(Re² + Im²) / 2 Das Oberflächenintegral entspricht SSA (Sum Squared Amplitude) Leistung. |
Varianz |
(Re² + Im²) / σ² / 2 |
Magnitude² |
Re² + Im² |
Magnitude |
sqrt(Re² + Im²) |
Wegen der "Multiresolution"-Eigenschaft der CWT sind die Pegel der dargestellten Kontur nicht proportional zur Leistung. Wenn Sie diese Eigenschaft benötigen, sollten Sie die Kurzzeit-Fourier-Transformation verwenden. Die nützlichsten Formate zur Visualisierung der CWT sind die dB-Formate.
In der CWT-Darstellung wird die Spektralinformation im "Cone of Influence" nicht dargestellt. Die entsprechenden Werte in der Y-Datenmatrix werden ungültig gesetzt. Der "Cone of Influence" bezeichnet die Spektralbereiche, bei denen Randeffekte vorliegen können.
Wavelet
Die Wavelets Morlet, Paul, und Gaussian Derivative stehen für die CWT-Spektralanalyse zur Auswahl. Der einstellbare Parameter (Anpassung) ist beim Morlet Wavelet dessen Wellenzahl (von 6 bis 200). Für das Paul Wavelet ist es eine Ordnung (von 4 bis 40). Für das Gaussian Derivative Wavelet ist es die Ordnung der Ableitung (von 2 bis 80). Die Wavelets sind komplex.
Parameter - Nullen anhängen
Das Feld Nullen anhängen bestimmt die Anzahl der bei der schnellen Faltung anzuhängenden Nullen (zero padding). Die CWT verwendet eine FFT-basierte schnelle Faltung, welche mit angehängten Nullen arbeitet, um Spiegelungseffekte (Aliasing) zu verhindern. Oft ist es sinnvoll, Nullen bis zur nächsten 2er-Potenz anzuhängen, um die Spiegelungseffekte zu unterdrücken und gleichzeitig eine schnelle Berechnung zu erzielen. Die Anzahl der Zeitwerte im Spektrum entspricht immer der Größe des Datensatzes und hängt nicht von der Anzahl angehängter Nullen ab.
Parameter - Frequenz
Die CWT bietet die Möglichkeit, ein Spektrum für beliebige Frequenzwerte zu berechnen. Der voreingestellte Frequenzbereich reicht von der niedrigsten Frequenz bis zur Nyquist-Frequenz. Innerhalb dieses Bereiches kann eine beliebige Anfangsfrequenz und Endfrequenz gewählt werden. Wenn Ihr Datensatz keine Zeitinformation enthält, dann müssen Sie hier Nyquist-normierte Frequenzen im Bereich von 0 bis 0,5 eingeben.
Die Option Logarithmischer Frequenzabstand sorgt für eine logarithmische Anordnung der Frequenzlinien. Dies ist dann sinnvoll, wenn die Signalenergie vorwiegend bei niedrigen Frequenzen liegt. Wenn Sie diese Option deaktivieren, werden die Frequenzen linear angeordnet.
Das Feld Frequenzanzahl bestimmt die Anzahl der Frequenzen im Spektrum. Die Vorgabe von 40 ist gewöhnlich ausreichend, kann sich jedoch als zu gering erweisen, um z. B. bei logarithmischem Frequenzabstand hochfrequente dicht beieinander liegende Signalanteile zu trennen oder entsprechend, um bei linearem Frequenzabstand Anteile zu trennen, die bei niedrigen Frequenzen dicht beieinander liegen. FlexPro erlaubt Frequenzanzahlen von bis zu 500. Sie sollten jedoch bedenken, dass für jede Frequenz eine separate FFT berechnet werden muss. Die Berechnungszeit und der Speicherbedarf gehen spürbar nach oben, wenn hohe Frequenzanzahlen gewählt werden.
Optionen - Maximaler dB-Bereich und Zeitwerteanzahl
Das Feld Maximaler dB-Bereich ist nur für die Formate dB und dB, normiert aktiviert. Die dB-Beschränkung wirkt sich auf die Endwerte der automatischen Skalierung und damit auch auf den Farbverlauf im Spektrogramm aus. Bitte geben Sie 0 in dieses Feld ein, um einen unbeschränkten Bereich zu erhalten.
Der Wert Max. Anzahl CWT Zeitwerte gibt einen Schwellenwert für die Datenreduktion durch Mittelung vor. Diese Datenreduktion wird vorgenommen, um das Datenvolumen in einem für die 3D-Darstellung sinnvollen Bereich zu halten. Die dezimierten Spektren weisen die gleiche Leistung auf, die Peaks können jedoch etwas reduziert werden. Das Maximum von 10.000 Zeitwerten erlaubt Datenlängen bis 10.000 Werten ohne Dezimierung. Bitte geben Sie 0 in dieses Feld ein, um eine unbeschränkte Zeitwerteanzahl zu erhalten. Die Größe der CWT-Matrix ergibt sich aus Anzahl der Frequenzen x Anzahl der Datenwerte.
Optionen - Referenz setzen/löschen (Nur im Analyseassistent)
Diese Funktion ermöglicht Ihnen den Vergleich verschiedener Spektralprozeduren und Einstellungen. Mit der Schaltfläche Referenz setzen wird eine Kopie des aktuell angezeigten Spektrums in der unteren Fensterebene angezeigt. Anschließend können Sie weitere Einstellungen vornehmen, die sich auf die Darstellung in der oberen Ebene auswirken. Mit Referenz löschen entfernen Sie die Kopie und das Zeitsignal wird wieder angezeigt.
Ergebnis
Gewöhnlich haben CWT-Spektrogramme die Zeit als horizontale Variable, während STFT-Spektrogramme die Frequenz als horizontale Variable haben. Um beide Verfahren vergleichbar zu machen, werden beide Orientierungen angeboten.
Speziell zur Auswertung von Hochläufen können Sie ein synchron gemessenes Drehzahlsignal angeben, um die Zeit im Ergebnis durch die Drehzahl zu ersetzen. FlexPro ordnet hierbei jedem Einzelspektrum die zum Zeitpunkt seiner Erfassung geltende Momentandrehzahl zu. Im Ergebnis werden die Spektren nach aufsteigenden Drehzahlen sortiert ausgegeben.
Hohe Frequenzauflösung bei Morlet Wavelets
Hohe Morlet Wellenzahlen können die Frequenzauflösung drastisch vergrößern, wenn diese auf große Datensätze (z. B. 16K und größer) angewendet werden. Diese hohen Wellenzahlen müssen jedoch mit Vorsicht eingesetzt werden, da schmalbandige Signalkomponenten vollständig zwischen den festen Frequenzpunkten des CWT-Spektrums verschwinden können. Um eine genaue Analyse zu gewährleisten, sollten Sie daher mit einer kleinen Wellenzahl beginnen, welche eine gewisse "Weichheit" in der Frequenz aufweist und sich so einen Überblick über den Spektralgehalt verschaffen. Dann sollten Sie bei der hohen Wellenzahl sicherstellen, dass die gefundenen Spektralkomponenten immer noch erscheinen, indem Sie bei logarithmischem Frequenzabstand die Frequenzanzahl ggf. bis zum Maximum von 500 hoch setzen oder das Frequenzband auf den interessierenden Bereich reduzieren. Um das Auswaschen von Spektralinformation zu vermeiden, sollten Sie auch bei der Wahl der Wellenzahl Vorsicht walten lassen, wenn die gemessenen Daten wenig Oszillationen bzw. eine kurze Aufzeichnungszeit aufweisen. Sie sollten das Wavelet nicht überspezifizieren, der zu analysierende Datensatz sollte deutlich mehr Oszillationen aufweisen als das Wavelet.
Höhere Morlet-Wellenzahlen erhöhen die Verwischung in der Zeitdimension. Ein Datensatz mit z. B. einer Million Werten wird vielleicht mit einem Pixel pro tausend Werte dargestellt. Ein Wavelet mit sehr hoher Zeitauflösung kann ein Spektrum erzeugen, bei dem eine Komponente vollständig innerhalb von tausend Zeitwerten auftritt und wieder verschwindet. In einem solchen Fall kann die mittelnde Datenreduktion in Zeitrichtung dazu führen, dass eine solche Komponente verloren geht. Morlet Wavelets mit hoher Wellenzahl produzieren eine ausreichende Verwischung in der Zeit, so dass dieser Effekt verhindert wird.
Bemerkungen zum Speicherbedarf
Die CWT erfordert separate FFTs für jeden Frequenzwert. Wegen des sich hieraus ergebenden Speicherbedarfs ist die Anzahl der Frequenzwerte auf ein Maximum von 500 begrenzt. Bei der CWT wird durch das Anhängen von Nullen kein zusätzlicher Speicher gebraucht, da dies nur während der schnellen Faltung stattfindet.
Bei der CWT hängt der Speicherbedarf linear von der Anzahl der Frequenzen ab. Eine Verdoppelung der Frequenzanzahl verdoppelt den Speicherbedarf. Meistens lohnt sich jedoch ein Wert von mehr als 50 bis 60 CWT Frequenzen nicht.