Algorithmes ARMA
Les algorithmes d'estimation ARMA (moyenne glissante Autorégressive) sont utilisés dans l'option spectrale ARMA (moyenne glissante autorégressive).
Méthodes linéaires
Les modèles ARMA les plus simples et les plus rapides sont des algorithmes linéaires séquentiels. Dans une procédure linéaire séquentielle, un modèle AR est d'abord ajusté aux données, puis un modèle MA est ajusté aux résidus. Les coefficients AR et MA ne sont pas estimés simultanément et la solution globale sera sous-optimale. Pour cette raison, FlexPro ne propose que les procédures non linéaires optimales.
Méthodes non-linéaires
Les quatre procédures ARMA non linéaires consistent en des minimisations itératives complètes de type Levenburg-Marquardt. Contrairement à de nombreuses implémentations ARMA, le filtre ARMA de FlexPro procède d'abord vers l'élément de données initial avec une prédiction/moyenne arrière et ensuite vers l'avant sur toute la séquence de données. Le modèle ARMA et une dérivée partielle pour chaque paramètre doivent être calculés point par point à chaque itération. Le processus d'ajustement peut être très lent avec de grands ensembles de données et des ordres de modèles AR, MA élevés.
Les quatre procédures NL ARMA sont des algorithmes originaux développés pour FlexPro.
Non linéaire
L'algorithme non linéaire n'impose aucune contrainte, les paramètres pouvant varier librement.
Factorisation spectrale non linéaire
L'algorithme de factorisation spectrale non-linéaire ajoute la factorisation spectrale complète au problème. Le filtre ARMA aura une phase minimale car les racines AR et MA se trouveront toutes deux à l'intérieur du cercle unitaire. Bien que l'algorithme non-linéaire sans contrainte puisse parfois offrir une meilleure qualité d'ajustement, la procédure non-linéaire avec factorisation spectrale est souvent proche statistiquement. Malgré la surcharge de la factorisation spectrale, l'algorithme peut parfois être plus rapide, car une bonne mesure d'un ajustement ARMA non linéaire implique des paramètres errants dans des régions d'instabilité. Cependant, l'ajustement résultant aura généralement des statistiques de qualité d'ajustement moins bonnes, car le véritable minimum global des moindres carrés a souvent une ou plusieurs racines en dehors du cercle unitaire.
SVD non-linéaire et factorisation spectrale non-linéaire SVD
FlexPro propose également les versions non-linéaire et factorisation spectrale non-linéaire, y compris SVD. Tout comme dans les options AR SVD de FlexPro, un espace de signal est sélectionné qui devrait contenir les principales valeurs singulières du problème des moindres carrés. Bien que l'une des utilisations des modèles ARMA soit de caractériser également le bruit d'observation, il y a encore des avantages à tronquer les modes propres avec SVD. Si l'on perd un temps considérable à errer dans un espace à n dimensions pour ajuster des composantes de bruit faibles, on peut obtenir des ajustements plus rapides en éliminant ces modes propres. De même, les vallées profondes et les pics aigus sont traités de la même manière dans le problème des moindres carrés. Un mode propre principal peut être associé à une nullité si cette composante MA a un impact significatif sur la fonction de mérite de l'ajustement par les moindres carrés. Ainsi, l'UDS retient les vallées qui ont un impact significatif sur le modèle.
Filtre ARMA
Dans la procédure ARMA, la minimisation de la fonction de mérite des moindres carrés utilise la prédiction/la moyenne rétrospective à partir d'une position initiale des données vers le bas, et la prédiction/la moyenne prospective à partir de l'ordre du modèle vers le haut. La position initiale pour la prédiction/moyenne arrière est la plus petite des deux valeurs suivantes : (1) le nombre de données moins l'ordre du modèle AR et (2) le maximum de 100 et la somme des ordres des modèles AR et MA. Cette approche conserve les degrés de liberté, car une estimation est faite pour chacun des éléments de données d'entrée (il n'y a pas de vide à une extrémité du flux de données).
Références
Une excellente documentation sur les algorithmes spectraux AR peut être trouvée dans les références suivantes :
•S. Lawrence Marple, Jr., "Digital Spectral Analysis with Applications", Prentice-Hall, 1987, p.172-284.
•Steven M. Kay, "Modern Spectral Estimation", Prentice Hall, 1988, p.153-270.
Voir aussi
Objet d'analyse Estimateurs spectraux - Estimateur spectral ARMA