Algorithmes AR
Les algorithmes d'estimation autorégressifs sont utilisés dans la procédure spectrale AR (AutoRegressive).
Les coefficients AR peuvent être calculés de différentes manières. Les coefficients peuvent être calculés à partir d'estimations d'autocorrélation, de coefficients d'autocorrélation partielle (réflexion) et de procédures de matrice des moindres carrés. En outre, un modèle AR utilisant la méthode d'autocorrélation dépendra du seuil de troncature (décalage maximal) utilisé pour calculer les corrélations. La méthode d'autocorrélation partielle dépendra de la définition spécifique du coefficient de réflexion. Les méthodes des moindres carrés donneront également des résultats qui sont fonction de la façon dont les données sont traitées aux limites (taille de la matrice) ainsi que de l'ajustement de la matrice de données ou des équations normales.
Méthode d'autocorrélation
L'unique algorithme basé sur l'autocorrélation, Autocorrelation, offre la résolution la plus faible. Les effets de point final proviennent de l'estimation de la séquence d'autocorrélation tronquée par un retard (l'ACS infinie est approximée par un sous-ensemble fini). Il s'agit de l'algorithme AR que l'on trouve dans de nombreux logiciels de séries chronologiques et de statistiques. Elle est parfois désignée comme la méthode Yule-Walker. L'algorithme biaisé utilisé ici aboutit toujours à un filtre AR stable (les racines sont toutes dans le cercle unitaire). Comme une récursion est utilisée, les coefficients pour tous les ordres inférieurs sont également calculés.
Des versions de la procédure AR d'autocorrélation peuvent être trouvées dans le paquetage de séries chronologiques du domaine public STARPAC, ainsi que dans les références de Marple (p. 239) et Kay (p. 260). La procédure d'autocorrélation de FlexPro suit l'implémentation de STARPAC.
Méthode de l'entropie maximale
L'algorithme de Burg est probablement la procédure d'AR la plus connue. En raison de sa dérivation dans le contexte des méthodes d'entropie maximale, l'algorithme est parfois appelé "MEM". La procédure calcule les coefficients AR directement à partir des données en estimant les coefficients de réflexion (autocorrélations partielles) à des ordres successifs. Comme les coefficients calculés sont la moyenne harmonique entre les estimations d'autocorrélation partielle avant et arrière, la procédure Burg est également connue sous le nom d'algorithme "harmonique". L'algorithme présentera un certain biais dans l'estimation des fréquences centrales des composantes sinusoïdales, et les ajustements d'ordre supérieur sont connus pour leur "fractionnement", un phénomène où de multiples pics spectraux sont générés alors qu'une seule caractéristique est présente. La méthode de Burg produit également des coefficients AR stables avec des racines à l'intérieur ou sur le cercle unitaire. Il est également récursif, et calcule les coefficients pour les ordres inférieurs en route vers la solution.
Des versions de la procédure de Burg peuvent être trouvées dans le paquet de séries chronologiques du domaine public du CMLIB, ainsi que dans les références de Marple (p. 240) et Kay (p. 265). Une version de la procédure Burg peut être trouvée dans la référence de presse. La procédure Burg de FlexPro suit l'algorithme CMLIB.
Algorithmes des moindres carrés
Les autres méthodes impliquent des estimations simultanées par les moindres carrés de tous les coefficients AR du modèle. Les modèles d'équations normales mettent en œuvre les équations normales utilisées dans les estimations typiques des moindres carrés. Les matrices carrées sont formées en utilisant les sommes des éléments de données en avant ou en arrière.
Equations normales FB est la variante de prédiction forward-backward de l'approche des équations normales des moindres carrés. Ces sommes entraînent une perte de précision qui peut se traduire par une résolution réduite (par rapport aux méthodes de données directes) et une moindre stabilité des coefficients. Cependant, en présence d'un certain bruit, les équations normales donnent généralement des résultats viables. Ces algorithmes calculent les coefficients uniquement pour l'ordre spécifié.
Les modèles Data Matrix FB mettent en œuvre les méthodes de prédiction linéaire de la "covariance modifiée". La covariance dans ce contexte n'a rien à voir avec l'ajustement d'une matrice de covariance. Au contraire, la matrice complète des données ou de la trajectoire, généralement rectangulaire, est ajustée directement au vecteur des éléments de données. Data Matrix FB est un algorithme rapide qui exploite la symétrie de la matrice de données. Cet algorithme produit un ajustement AR optimal par les moindres carrés sans les pertes de précision caractéristiques de l'approche des équations normales. Pour les méthodes AR de base, l'algorithme Data Matrix FB est probablement l'estimateur de fréquence le plus précis pour les sinusoïdes non amortis.
Des versions de la méthode de la "covariance modifiée" se trouvent dans les livres de Marple (p.248) et de Kay (p. 262). La procédure Data Matrix FB de FlexPro suit l'algorithme de Marple. Les procédures d'équations normales sont des algorithmes originaux conçus pour FlexPro.
Algorithmes des moindres carrés basés sur SVD
Dans les procédures d'EI de FlexPro, il n'y a pas de comptage ou de sélection de seuil des pics. Le spectre de puissance d'un modèle AR est un polynôme à tous les pôles. Les pics se produiront exactement aux fréquences correspondant aux racines du polynôme.
Les procédures AR de FlexPro ont été conçues pour faciliter l'utilisation des routines de (décomposition de la valeur singulière). Pour les algorithmes non-SVD, tous les pôles sont traités comme des pics pertinents. Pour réduire le spectre aux seules composantes du signal qui nous intéressent, il faut utiliser un algorithme SVD.
Spécifiez un espace de signal de 2 pour chaque harmonique à bande étroite à traiter comme un signal. Par exemple, pour modéliser un signal contenant six sinusoïdes et du bruit, un espace de signal de 12 est nécessaire pour capturer les harmoniques, et un ordre total de modèle de 40-80 sera nécessaire pour capturer efficacement les composantes du bruit.
Hormis des temps de traitement plus longs, l'utilisation d'une procédure SVD ne présente aucun inconvénient, et les avantages sont nombreux lorsque l'extraction des harmoniques est l'objectif principal de la modélisation. Un ajustement SVD de l'espace complet du signal, où l'espace du signal est égal à l'ordre du modèle, produit les mêmes résultats que les algorithmes non-SVD.
Pour l'extraction sinusoïdale, le Data Matrix FB SVD est un superbe algorithme. Elle est similaire à la procédure PCAR (Principal Component AR). Cependant, pour les grands ensembles de données, ces procédures peuvent être assez lentes. S'il y a du bruit (ce qui est la raison pour laquelle SVD est utilisé en premier lieu), les équations normales équivalentes Equations normales FB SVD, produiront des résultats similaires beaucoup plus rapidement.
La plupart des algorithmes AR de FlexPro sont des procédures de moindres carrés car ils produisent les meilleures estimations spectrales. Les méthodes des moindres carrés qui offrent une séparation in-situ du signal et du bruit par la décomposition de la valeur singulière (SVD) sont les plus robustes des méthodes AR de FlexPro. Ces algorithmes sont intégrés dans les procédures AR (il n'y a pas, par exemple, d'option séparée Principal Component AutoRegressive ou PCAR).
Toutes les procédures basées sur SVD sont des algorithmes originaux créés pour FlexPro.
Références
Une excellente documentation sur les algorithmes spectraux AR peut être trouvée dans les références suivantes :
•S. Lawrence Marple, Jr., "Digital Spectral Analysis with Applications", Prentice-Hall, 1987, p.172-284.
•Steven M. Kay, "Modern Spectral Estimation", Prentice Hall, 1988, p.153-270.
L'information sur l'algorithme de Burg peut également être intéressante :
•W. H. Press, et. al, "Numerical Recipes in C", Cambridge University Press, 1992, p.564-575.
Voir aussi
Objet d'analyse Estimateurs spectraux - Estimateur spectral AR