Objet et modèle d’analyse Estimateur spectral – Estimateur spectral ARMA (AutoRegressive Moving Average) (Option Analyse spectrale)
La procédure ARMA (AutoRegressive Moving Average) produit un modèle combiné pôle-zéro qui est capable de décrire efficacement les pics et les creux. Un modèle ARMA est généralement considéré comme supérieur pour l'ajustement du signal et du bruit. Malheureusement, un modèle ARMA est non linéaire par nature, et nécessite une procédure itérative pour résoudre les paramètres avec précision.
Le fait de traiter à la fois des paramètres AR et MA, dont les ordres peuvent être fixés indépendamment, ajoute une complexité considérable à la modélisation et à l'interprétation spectrale. Accepter cette complexité supplémentaire tout en acceptant un jeu de paramètres ARMA sous-optimal semble incongru. C'est pourquoi nous avons choisi de ne pas prendre en charge les diverses procédures séquentielles linéaires sous-optimales.
Algorithme
Les quatre procédures ARMA non linéaires consistent en des minimisations non linéaires complètes de Levenburg-Marquardt.
Contrairement à de nombreuses implémentations ARMA, le filtre FlexPro ARMA dans les algorithmes NL procède d'abord vers l'élément de données initial avec la prédiction/la moyenne en arrière et ensuite en avant sur toute la séquence de données. Le modèle ARMA et une dérivée partielle pour chaque paramètre doivent être calculés point par point à chaque itération. Le processus d'ajustement peut être très lent avec de grands ensembles de données et des ordres de modèles AR, MA élevés.
L'algorithme n'impose aucune contrainte, les paramètres pouvant varier librement. L'algorithme ajoute une factorisation spectrale complète afin que les racines AR et MA se situent dans le cercle unitaire. Malgré la surcharge de la factorisation spectrale, l'algorithme peut parfois être plus rapide, car une bonne mesure d'un ajustement ARMA non linéaire implique des paramètres errants dans des régions d'instabilité.
FlexPro propose également les versions et des deux procédures NL. Tout comme dans les options AR SVD de FlexPro, un espace de signal est sélectionné qui devrait contenir les principales valeurs singulières du problème des moindres carrés. Bien que l'une des utilisations des modèles ARMA soit de caractériser également le bruit d'observation, il y a encore des avantages à tronquer les modes propres avec SVD. Si l'on perd un temps considérable à errer dans un espace à n dimensions pour ajuster des composantes de bruit faibles, on peut obtenir des ajustements plus rapides en éliminant ces modes propres. De même, les vallées profondes et les pics aigus sont traités de la même manière dans le problème des moindres carrés. Un mode propre principal peut être associé à une nullité si cette composante MA a un impact significatif sur la fonction de mérite de l'ajustement par les moindres carrés. Ainsi, l'UDS retient les vallées qui ont un impact significatif sur le modèle.
Type de spectre
Pour les spectres ARMA, il n'existe que quatre formats spectraux. Le PSD peut refléter les trois différentes normalisations de puissance, Intégral=TISA, Time-Integral Squared Amplitude, Intégral=MSA, Mean Squared Amplitude, Intégral=SSA, Sum Squared Amplitude, ou il peut être exprimé en dB. Il n'existe pas d'échelle normalisée en dB où le pic le plus élevé est fixé à 0 dB ; les pics aigus sont susceptibles d'être mal caractérisés en termes de hauteur et ils ne reflèteront pas linéairement la puissance des composantes spectrales. En général, les spectres ARMA doivent être considérés avant tout comme des estimateurs de fréquence.
Paramètres
L'un des principaux obstacles à l'ajustement ARMA est la détermination des ordres AR et MA. La sélection des ordres AR et MA optimaux est difficile. Il n'y a aucune raison pour qu'ils soient identiques, c'est-à-dire qu'il y ait une vallée spectrale (d'une racine MA) pour chaque pic spectral (d'une racine AR). Cependant, pour simplifier la sélection des ordres, il est courant de fixer les ordres AR et MA égaux l'un à l'autre.
Pour voir uniquement un ajustement AR, le nombre de coefficients MA peut être fixé à zéro.
Puisque les algorithmes de factorisation spectrale non-linéaire s'adaptent à des modèles ARMA stables avec toutes les racines à l'intérieur du cercle unitaire, les ajustements AR uniquement sont également limités. Gardez cependant à l'esprit que les algorithmes linéaires Matrice de données de l'option Estimateur spectral AR (Autorégressive) atteignent souvent cette stabilité.
La sélection du sous-espace du signal est activée uniquement lorsque l'algorithme SVD non linéaire et SVD de factorisation spectrale non linéaire est sélectionné. Tout comme dans les options AR SVD de FlexPro, un espace de signal est sélectionné qui devrait contenir les principales valeurs singulières du problème des moindres carrés. Ici cependant, les principaux modes propres peuvent être associés à la fois aux composantes AR et MA.
Puisque les vallées sont modélisées en plus des pics, l'espace optimal du signal ne sera pas automatiquement le double du nombre de composantes à bande étroite présentes dans les données.
Un ajustement SVD de l'espace complet du signal, où l'espace du signal est égal à la somme des ordres des modèles AR et MA, produit les mêmes résultats que les algorithmes.
Spectre
Un spectre ARMA peut être généré directement à partir des coefficients AR et MA, ou avec certains avantages en termes de performance en utilisant une FFT. L'option Gamme complète verrouille la plage de Nyquist 0-0,5. Il fait également en sorte que le spectre soit généré via une FFT si l'option Espacement adaptatif est désactivée. Lorsque l'option Gamme complète est activée, seul le nombre total de spectres (Nombre de fréquences) peut être spécifié. Contrairement aux options FFT, qui spécifient la longueur de la transformation, cette option spécifie le nombre total de fréquences dans le spectre renvoyé. Une FFT de 16384 points produit 8193 fréquences spectrales de 0 à 0,5 fréquence normalisée. Pour l'option Gamme complète il sera plus rapide d'utiliser les valeurs de la liste déroulante Nombre de fréquences, car elles produisent des FFT rapides. Les procédures ARMA utilisent l'algorithme FFT Meilleure exact N.
Lorsque l'option Plage entière est désactivée, vous pouvez sélectionner la fréquence de début et de fin souhaitée ainsi que le nombre de fréquences spectrales(Nombre de fréquences) dans cette bande. Il est donc possible de générer un spectre détaillé uniquement dans la région d'intérêt spécifique. Cette option utilise un calcul direct pour le spectre et n'importe quelle taille peut être utilisée.
L'option Espacement adaptatif utilise toujours un calcul direct pour le spectre. Un estimateur spectral ARMA peut comporter des pics et des vallées étonnamment nets, notamment par rapport aux spectres FFT traditionnels. Pour un échantillonnage uniforme, une taille de 8193 points uniformément espacés n'est pas déraisonnable afin d'obtenir une bonne représentation des pics et des vallées. Cependant, même avec un grand nombre, une partie de la puissance d'un pic peut encore être perdue. Comme alternative, FlexPro peut utiliser une procédure Runge-Kutta pour intégrer le spectre de manière adaptative, en sauvegardant les points utilisés dans le calcul de l'intégrale. Il en résulte un ensemble de fréquences adaptatives contenant des fréquences concentrées près des pics.
Options - Basculer les étiquettes (Assistant d'analyse uniquement)
Vous pouvez visualiser les valeurs Y et/ou X des pics du spectre en appuyant sur Échanger étiquettes. Les estimations initiales des fréquences sont basées sur les maxima locaux d'un spectre complet de 8193 points. Ces pics sont ensuite affinés en utilisant une procédure de minimisation unidimensionnelle avec le modèle spectral ARMA continu. Pour les algorithmes non-SVD, chaque maximum local dans le spectre de 8193 fréquences est traité comme un pic spectral valide. Le nombre de pics spectraux peut donc être aussi élevé que la moitié de l'ordre du modèle. Pour les procédures SVD, le nombre de pics spectraux doit être égal à la moitié de la valeur du sous-espace du signal.
Contrairement à la FFT, il n'est pas possible de comparer la puissance en regardant l'ampleur des pics spectraux de l'AR. Les zones sous les pics, cependant, sont indicatives de la puissance estimée.
Options - Définir/effacer la référence (Assistant d'analyse uniquement)
Cette fonction vous permet de comparer différentes procédures et réglages spectraux. Vous pouvez afficher une copie du spectre actuellement affiché dans le volet inférieur en appuyant sur Définir référence. Ensuite, vous pouvez régler des paramètres supplémentaires qui affectent l'affichage dans le volet supérieur. Avec Suppr. référence, vous pouvez supprimer la copie et le signal horaire apparaîtra à nouveau.