Analyseobjekt- und vorlage Spektralschätzer – AR (AutoRegressive) Spektralschätzer (Option Spektralanalyse)
Die AR (AutoRegressive) Verfahren bieten genaue Frequenzschätzung für kleine Datensätzen.
Algorithmus
Die Liste AR-Algorithmus bietet sechs Prozeduren zur Auswahl. Im Gegensatz zu den verschiedenen FFT-Algorithmen, erzeugt jede der AR-Verfahren ein zumindest geringfügig abweichendes Ergebnis. Der Datenmatrix VR SVD Algorithmus ist die stabilste und genaueste aber auch die langsamste der angebotenen Methoden. Wenn die Berechnungszeit bei großen Datensätzen zum Problem wird, dann ist eventuell der Normalengleichungen VR SVD Algorithmus eine brauchbare Alternative. Obwohl FlexPro auch die gewöhnlichen AR-Algorithmen ohne Singulärwertzerlegung (SVD=Singular Value Decomposition) anbietet, sind die SVD-Kleinste-Quadrate-Methoden zu empfehlen.
Bei den AR-Spektralroutinen erscheinen Peaks exakt an den Frequenzen der Wurzeln des AR-Polynoms. Für die Algorithmen ohne SVD werden alle Wurzeln als relevante Peaks betrachtet. Um das Spektrum auf nur die interessierenden Komponenten zu reduzieren, muss ein SVD-Algorithmus eingesetzt werden. Außer der höheren Rechenzeit haben die SVD-Algorithmen keine Nachteile, bieten jedoch eine Vielzahl von Vorteilen insbesondere bei der Isolation von harmonischen Spektralkomponenten.
Es gibt allgemein keine Veranlassung ein AR-Modell nicht-linear zu approximieren. Die Datenmatrix Algorithmen mit und ohne SVD erzeugen stabile Schätzungen bei denen alle Wurzeln in oder auf dem Einheitskreis liegen. Dies ist jedoch nicht garantiert. Es gibt eine Möglichkeit, ein Minimum der kleinsten Quadrate zu erzwingen, bei dem alle Wurzeln auf den Einheitskreis beschränkt sind. Sie können den ARMA (AutoRegressive Moving Average) Spektralschätzer mit den Algorithmen Nicht-linear Spektralfaktorisierung oder Nicht-linear Spektralfaktorisierung SVD und die MA (Moving Average) Ordnung auf Null setzen. Diese iterative Approximation ist jedoch deutlich langsamer.
Spektrumtyp
Für AR-Spektren gibt es nur vier Formate zur Auswahl. Die spektrale Leistungsdichte (PSD = Power Spectral Density) kann entweder in einer der drei Normierungen Integral=TISA (Zeitintegrierte Amplitude²), Integral=MSA (Gemittelte Amplitude²), Integral=SSA (Summierte Amplitude²) oder in Dezibel (dB) ausgegeben werden. Es gibt keine normierte dB Skalierung, bei der der höchste Peak auf 0 dB gesetzt wird, da bei scharfen Peaks die Höhe nur sehr ungenau ist und keine lineare Beziehung zur Leistung der entsprechenden Signalkomponente aufweist. Allgemein sollten AR-Spektren vorwiegend als Spektralschätzer eingesetzt werden.
Parameter
AR-Modelle an harmonische Signale ohne Rauschen zu approximieren ist eine einfache Sache. Modellordnung von 2 genügt zur vollständigen Beschreibung einer Schwingung. Entsprechend wird ein Modell der Ordnung 4 benötigt, um zwei Spektralkomponenten zu modellieren. Für Daten ohne Rauschen ist die minimale Ordnung immer das Doppelte der Anzahl der harmonischen Komponenten. Die Datenmatrix Prozeduren liefern hier eine perfekte Approximation, die zur genauen Isolation der Frequenzen führt. Dies trifft für die anderen Algorithmen nicht zu.
Ein AR-Modell kann sowohl reelle als auch komplexe Wurzeln aufweisen. Die reellen Wurzeln, gewöhnlich bei den normalisierten Frequenzen -0,5, 0 und 0,5, werden nicht berücksichtigt, da diese Singularitäten an den Rändern repräsentieren. Die komplexen Wurzeln erzeugen endliche spektrale Leistung und im Fall reeller Daten treten positive und negative Frequenzen immer paarweise auf. Beide Seiten des Spektrums müssen berücksichtigt werden. Deshalb muss die Ordnung immer dem Doppelten der Anzahl der Spektralkomponenten entsprechen.
In der Praxis ist jedoch meistens ein gewisses Maß an Rauschen vorhanden und deshalb wird eine höhere Modellordnung benötigt. Die zusätzlichen Koeffizienten dienen dann dazu, zumindest einen Teil des Rauschens zu modellieren. Um eine sinnvolle Signal-Rausch-Trennung mit SVD zu erzielen, muss eine ausreichend hohe Modellordnung approximiert werden, so dass die primären Eigenvektoren ausschließlich dem Signal-Unterraum zuzurechnen sind.
Für die SVD-Algorithmen ist die Ordnung des Modells von hoher Relevanz. Es muss ausreichend hohe Ordnung gewählt werden, um eine effektive Trennung von Signal und Rauschen zu erhalten. Mit welcher Genauigkeit das Rauschen approximiert wird, ist dabei weniger wichtig, da diese Eigenvektoren bei der SVD-Verarbeitung unterdrückt werden. Im Ergebnis erscheinen nur die dem Signal-Unterraum zugeordneten Eigenvektoren.
Das Feld Signal-Unterraum ist nur dann verfügbar, wenn eine SVD-Routine gewählt wurde. Da positive und negative Frequenzen verarbeitet werden, müssen Sie einen Wert eingeben, der dem Doppelten der erwarteten Anzahl von Spektralkomponenten entspricht. Wenn z. B. drei Spektralkomponenten existieren, muss der Signal-Unterraum auf 6 gesetzt werden.
Wenn Sie den Signalunterraum auf die Modellordnung setzen, dann erfolgt keine Trennung des Rauschens und die SVD-Routine liefert das gleiche Ergebnis wie die entsprechende Routine ohne SVD.
Spektrum
Ein AR-Spektrum kann direkt aus den AR-Koeffizienten oder, mit einem Vorteil in der Verarbeitungsgeschwindigkeit, mittels einer FFT berechnet werden. Die Option Volle Bandbreite wählt einen Spektralbereich von 0 bis 0,5, der Nyquist-Frequenz. Dies hat auch zur Folge, dass das Spektrum über eine FFT berechnet wird, solange die Option Adaptive Schrittweite abgeschaltet bleibt. Wenn die Option Volle Bandbreite eingeschaltet ist, kann nur die Frequenzanzahl eingestellt werden. Im Unterschied zur FFT, bei der die Länge der Transformation eingestellt wird, wird hier die Anzahl der Frequenzen im Spektrum spezifiziert. Eine FFT mit 16384 Punkten erzeugt z. B. 8193 Frequenzwerte im normierten Frequenzbereich von 0 bis 0,5. Für die Option Volle Bandbreite ist es am sinnvollsten eine der schnellen Anzahlen aus der Klappliste zu wählen, da diese eine 2-er Potenz als FFT-Länge zur Folge haben. Die AR-Prozeduren verwenden den Best Exact n FFT-Algorithmus.
Wenn die Option Volle Bandbreite abgeschaltet wird, können Sie die gewünschte Anfangs- und Endfrequenz und die Frequenzanzahl, die in diesem Band berechnet werden soll, angeben. Es ist hierdurch möglich, ein hochauflösendes Spektrum nur für den interessierenden Frequenzbereich zu berechnen. Diese Option berechnet das Spektrum direkt und es kann deshalb eine beliebige Größe gewählt werden.
Die Option Adaptive Schrittweite berechnet das Spektrum immer direkt. Ein AR-Spektrum kann aus beeindruckend scharfen Peaks bestehen, besonders im Vergleich zu einfachen FFT-Spektren. Bei konstanter Abtastrate ist eine Anzahl von 8193 gleich verteilten Punkten sinnvoll, um eine gute Darstellung der Peaks zu erzielen. Jedoch können auch bei einer großen Anzahl noch Teile der Leistung eines Peaks verloren gehen. Als Alternative verwendet FlexPro ein Runge-Kutta-Verfahren, um das Spektrum adaptiv zu integrieren und speichert dabei die Punkte, die bei der Integration verwendet wurden. Diese stellen dann eine adaptive Menge von Frequenzwerten dar, die im Bereich der Peaks enger zusammen liegen.
Optionen - Beschriftungen (Nur im Analyseassistent)
Mit der Schaltfläche Beschriftungen können Sie die Y- und/oder X-Werte der Peaks im Spektrum anzeigen lassen. Die Frequenzen der Peaks werden direkt aus den Wurzeln des AR-Modells entnommen und werden gewöhnlich bis auf 12 Stellen genau berechnet. Anders als bei der FFT müssen hier keine lokalen Maxima gesucht werden und auch keine Peak-Anzahl vorgegeben werden. Bei den Algorithmen ohne SVD wird jede gültige von einer Wurzel abgeleitete Frequenz als gültiger Peak betrachtet. Die Anzahl der Peaks kann deshalb maximal der halben Modellordnung entsprechen. Für die SVD-Routinen ist die Peak-Anzahl gleich der Hälfte des Signal-Unterraum-Wertes.
Anders als bei der FFT ist es nicht möglich die Leistungen von Peaks zu vergleichen, indem man deren Höhe misst. Stattdessen sind die Flächen unter den Peaks ein Maß für die geschätzte Leistung.
Optionen - Referenz setzen/löschen (Nur im Analyseassistent)
Diese Funktion ermöglicht Ihnen den Vergleich verschiedener Spektralprozeduren und Einstellungen. Mit der Schaltfläche Referenz setzen wird eine Kopie des aktuell angezeigten Spektrums in der unteren Fensterebene angezeigt. Anschließend können Sie weitere Einstellungen vornehmen, die sich auf die Darstellung in der oberen Ebene auswirken. Mit Referenz löschen entfernen Sie die Kopie und das Zeitsignal wird wieder angezeigt.
Bemerkungen
Ein AR-Modell von ausreichender Ordnung und besonders unter Verwendung der Datenmatrix Algorithmen ist ein exzellenter Spektralschätzer, da die Frequenzen nur von den Wurzeln des Polynoms abhängen. Die Leistung im Spektrum ist jedoch weit weniger zuverlässig.
Ein AR-Modell verstärkt den Einfluss von Schmalband-Komponenten und unterdrückt breitbandige Komponenten und Rauschen. AR-Modelle können eine weitaus bessere Trennung von nahe beieinander liegenden Spektralkomponenten erreichen, als dies mit FFT-Methoden möglich wäre. Andererseits kann die Unzuverlässigkeit bei der Leistungsabschätzung dazu führen, dass Komponenten mit niedriger Amplitude unerkannt bleiben, die mit FFT-Methoden klar isolierbar sind.
Im Allgemeinen ist die AR-Methode keine erste Wahl zur Isolation von Komponenten mit hohem Dynamikbereich. Die starken Signalanteile werden gut erkannt während Komponenten, die nur etwas über der Rauschgrenze liegen, oft unerkannt bleiben.