ARMA-Algorithmen
ARMA (Autoregressive-moving average) Algorithmen werden in der ARMA (AutoRegressive Moving Average) Spektralprozedur verwendet.
Lineare Methoden
Bei den einfachsten und schnellsten ARMA-Modellen handelt es sich um lineare sequentielle Algorithmen. Bei einer solchen Methode wird zuerst ein AR-Modell an die Daten approximiert und dann ein MA-Modell an das Residuum. Die AR und MA-Koeffizienten werden nicht simultan approximiert und das Ergebnis ist daher suboptimal. Aus diesem Grund verwendet FlexPro ausschließlich nichtlineare Methoden.
Nicht-lineare Methoden
Die vier nicht-linearen ARMA Algorithmen verwenden eine vollständige nicht-lineare Levenburg-Marquardt Approximation. Anders als viele ARMA Implementierungen, schreitet der ARMA-Filter in den nicht-linearen Algorithmen von FlexPro zunächst rückwärts in Richtung des ersten Datenelementes mit Rückwärts-Prädiktion und dann vorwärts über die volle Datenreihe. Für jeden Parameter muss sowohl das ARMA-Modell als auch eine partielle Ableitung Punkt für Punkt bei jeder Iteration berechnet werden. Der Approximationsvorgang kann daher für große Datenmengen und hohe Modellordnungen sehr langsam werden.
Die vier nicht-linearen ARMA-Prozeduren sind speziell für FlexPro entwickelt worden.
Nicht-linear
Der Nicht-linear-Algorithmus verwendet keine Beschränkungen, d. h. alle Parameter können frei variieren.
Nicht-linear Spektralfaktorisierung
Der Nicht-Linear Spektralfaktorisierung-Algorithmus verwendet eine vollständige Spektralfaktorisierung. Der ARMA-Filter weist minimale Phase auf, da sowohl die AR- als auch die MA-Wurzeln im Einheitskreis liegen. Obwohl der unbeschränkte Nicht-lineare Algorithmus manchmal einen besseren Goodness-of-fit hat, ist die Nicht-lineare Prozedur mit Spektralfaktorisierung von meist vergleichbarer statistischer Güte. Trotz des zusätzlichen Aufwandes durch die Spektralfaktorisierung kann dieser Algorithmus u. U. schneller sein, da die Parameter während eines großen Teiles der nicht-linearen Approximation in instabile Regionen wandern können. Das Ergebnis weist in der Regel eine schlechtere Anpassungsstatistik auf, da das globale Minimum der kleinsten Quadrate oft eine oder mehrere Wurzeln außerhalb des Einheitskreises zeigt.
Nicht-linear SVD und Nicht-linear Spektralfaktorisierung SVD
FlexPro bietet die Algorithmen Nicht-linear und Nicht-linear Spektralfaktorisierung auch mit SVD an. Wie bei den AR SVD Spektralprozeduren, sollte ein Signal-Unterraum angegeben werden, der die Hauptkomponenten-Singulärwerte aufnimmt. Obwohl die Bestimmung des Rauschens eine der Anwendung der ARMA-Modelle ist, hat die Reduktion der Eigenmoden mit SVD doch Vorteile. Da ein großer Teil der Approximationszeit damit verbracht wird, Rauschkomponenten zu approximieren, kann die Unterdrückung dieser Eigenmoden diese Zeit deutlich verkürzen. Tiefe Täler und steile Peaks werden bei der Kleinste-Quadrate-Approximation gleichbehandelt. Ein Haupteigenmode kann mit einem Tal assoziiert werden, wenn die entsprechende MA-Komponente großen Einfluss auf die Anpassungsfunktion der Kleinste-Quadrate-Approximation hat.
ARMA-Filter
In der ARMA-Prozedur verwendet der ARMA-Filter zur Minimierung des quadratischen Fehlers Rückwärts-Prädiktion/Mittelung von einer initialen Datenposition an abwärts und Vorwärts-Prädiktion/Mittelung von der Modellordnung an aufwärts. Die initiale Position für die Vorwärtsprädiktion ist gleich dem Minimum der Datenanzahl minus der Modellordnung und dem Maximum von 100 und der Summe der AR- und MA-Modellordnungen. Dieser Ansatz erhält die Freiheitsgrade, da für jeden Datenwert eine Schätzung gemacht wird (es gibt keine Lücke an einem Ende des Datenstroms).
Literatur
Eine exzellente Darstellung der AR Spektralalgorithmen finden Sie in:
•S. Lawrence Marple, Jr., "Digital Spectral Analysis with Applications", Prentice-Hall, 1987, p.172-284.
•Steven M. Kay, "Modern Spectral Estimation", Prentice Hall, 1988, p.153-270.