Analyseobjekt- und vorlage Spektralschätzer – ARMA (AutoRegressive Moving Average) Spektralschätzer (Option Spektralanalyse)
Die ARMA (AutoRegressive Moving Average) Prozedur erstellt ein kombiniertes Pol-Nullstellen-Modell, welches sowohl Peaks als auch Täler darstellen kann. Das ARMA-Modell wird im Allgemeinen als überlegen bei der Modellierung von verrauschten Signalen angesehen. Leider handelt es sich um ein nicht-lineares Modell, welches eines iterativen Algorithmus bedarf, um die Parameter exakt abzuschätzen.
Die Behandlung der Parameter der AR und MA Modelle, deren Ordnungen unabhängig einstellbar sind, erhöht die Komplexität der Modellierung und der spektralen Interpretation merklich. Es erschien uns unangemessen, diese zusätzliche Komplexität zuzulassen und dabei die Verwendung sub-optimaler ARMA-Parameter zu tolerieren. Aus diesem Grund werden die diversen suboptimalen linearen Verfahren nicht unterstützt.
Algorithmus
Die vier Nicht-lineare ARMA Algorithmen verwenden eine vollständige nicht-lineare Levenburg-Marquardt Approximation.
Anders als viele ARMA Implementierungen, schreitet der ARMA-Filter in den nicht-linearen Algorithmen von FlexPro zunächst rückwärts in Richtung des ersten Datenelementes mit "Backward-Prediction" und dann vorwärts über die volle Datenreihe. Für jeden Parameter muss sowohl das ARMA-Modell als auch eine partielle Ableitung Punkt für Punkt bei jeder Iteration berechnet werden. Der Approximationsvorgang kann daher für große Datenmengen und hohe Modellordnungen sehr langsam werden.
Der Nicht-Linear Algorithmus unterliegt keinen Beschränkungen, da die Parameter frei variieren können. Der Nicht-Linear Spektral Faktorisierung Algorithmus führt eine vollständige Spektralfaktorisierung durch, so dass sowohl die AR als auch die MA-Wurzeln innerhalb des Einheitskreises liegen. Trotz des zusätzlichen Aufwandes durch die Spektralfaktorisierung kann dieser Algorithmus u. U. schneller sein, da die Parameter während eines großen Teiles der nicht-linearen Approximation in instabile Regionen wandern können.
FlexPro bietet beide Algorithmen auch mit Singulärwertzerlegung (SVD=Singular Value Decomposition) an. Wie bei den AR SVD Routinen wird ein Signal-Unterraum festgelegt, welcher nur die den Signalkomponenten zuzuordnenden Singularitäten aufnimmt. Obwohl die Bestimmung des Rauschens eine der Anwendung der ARMA-Modelle ist, hat die Reduktion der Eigenmoden mit SVD doch Vorteile. Da ein großer Teil der Approximationszeit damit verbracht wird, Rauschkomponenten zu approximieren, kann die Unterdrückung dieser Eigenmoden diese Zeit deutlich verkürzen. Tiefe Täler und steile Peaks werden bei der Kleinste-Quadrate-Approximation gleichbehandelt. Ein Haupteigenmode kann mit einem Tal assoziiert werden, wenn die entsprechende MA-Komponente großen Einfluss auf die Anpassungsfunktion der Kleinste-Quadrate-Approximation hat.
Spektrumtyp
Für AR-Spektren gibt es nur vier Formate zur Auswahl. Die spektrale Leistungsdichte (PSD = Power Spectral Density) kann entweder in einer der drei Normierungen Integral=TISA (Zeitintegrierte Amplitude²), Integral=MSA (Gemittelte Amplitude²), Integral=SSA (Summierte Amplitude²) oder in Dezibel (dB) ausgegeben werden. Es gibt keine normierte dB Skalierung, bei der der höchste Peak auf 0 dB gesetzt wird, da bei scharfen Peaks die Höhe nur sehr ungenau ist und keine lineare Beziehung zur Leistung der entsprechenden Signalkomponente aufweist. Allgemein sollten AR-Spektren vorwiegend als Spektralschätzer eingesetzt werden.
Parameter
Eines der größten Hindernisse bei der ARMA-Approximation ist die Ermittlung der AR- und MA-Ordnung. Es ist schwierig, die optimalen AR- und MA-Ordnungen zu finden. Es gibt keinen Grund, diese als gleich anzunehmen, was bedeuten würde, dass für jeden Peak (Wurzel des AR-Modells) ein Tal (Wurzel des MA-Modells) im Spektrum vorliegt. Um die Festlegung der Ordnungen zu erleichtern, wird jedoch häufig der gleiche Wert für beide Ordnungen verwendet.
Wenn eine reine AR-Approximation gewünscht wird, kann die MA-Ordnung auf Null gesetzt werden.
Da die nicht-linearen Algorithmen mit Spektralfaktorisierung stabile ARMA-Modelle approximieren, bei denen alle Wurzeln im Einheitskreis liegen, sind reine AR-Approximationen auf gleiche Weise beschränkt. Beachten Sie jedoch, dass die linearen Datenmatrix Algorithmen der AR (AutoRegressive) Spektralprozedur diese Stabilität auch oft erreichen.
Das Feld Signal-Unterraum ist nur für die Algorithmen Nicht-linear SVD und Nicht-linear Spektralfaktorisierung SVD-Algorithmus aktiviert. Analog zu FlexPro’s AR SVD-Algorithmen sollte ein Signal-Unterraum gewählt werden, der nur die signifikanten Singulärwerte aufnimmt. Hier können diese jedoch sowohl dem MA als auch dem AR-Modell zugeordnet sein.
Da zusätzlich zu den Peaks auch Täler modelliert werden, ist der optimale Signalunterraum nicht zwingend gleich der doppelten Anzahl von Schmalbandkomponenten im Datensatz.
Wenn Sie den Signalunterraum auf die Summe der AR- und MA-Modellordnungen setzen, dann erfolgt keine Trennung des Rauschens und die SVD-Routine liefert das gleiche Ergebnis wie die entsprechende Routine ohne SVD.
Spektrum
Ein ARMA-Spektrum kann direkt aus den AR- und MA-Koeffizienten oder, mit einem Vorteil in der Verarbeitungsgeschwindigkeit, mittels einer FFT berechnet werden. Die Option Volle Bandbreite wählt einen Spektralbereich von 0 bis 0,5 der Nyquist-Frequenz. Dies hat auch zur Folge, dass das Spektrum über eine FFT berechnet wird, solange die Option Adaptive Schrittweite abgeschaltet bleibt. Wenn die Option Volle Bandbreite eingeschaltet ist, kann nur die Frequenzanzahl eingestellt werden. Im Unterschied zur FFT, bei der die Länge der Transformation eingestellt wird, wird hier die Anzahl der Frequenzen im Spektrum spezifiziert. Eine FFT mit 16384 Punkten erzeugt z. B. 8193 Frequenzwerte im normierten Frequenzbereich von 0 bis 0,5. Für die Option Volle Bandbreite ist es am sinnvollsten eine der schnellen Anzahlen aus der Klappliste zu wählen, da diese eine 2-er Potenz als FFT-Länge zur Folge haben. Die ARMA-Prozeduren verwenden den Best Exact n FFT-Algorithmus.
Wenn die Option Volle Bandbreite abgeschaltet wird, können Sie die gewünschte Anfangs- und Endfrequenz und die Frequenzanzahl, die in diesem Band berechnet werden soll, angeben. Es ist hierdurch möglich, ein hochauflösendes Spektrum nur für den interessierenden Frequenzbereich zu berechnen. Diese Option berechnet das Spektrum direkt und es kann deshalb eine beliebige Größe gewählt werden.
Die Option Adaptive Schrittweite berechnet das Spektrum immer direkt. Ein ARMA-Spektrum kann aus beeindruckend scharfen Peaks bestehen, besonders im Vergleich zu einfachen FFT-Spektren. Bei konstanter Abtastrate ist eine Anzahl von 8193 gleich verteilten Punkten sinnvoll, um eine gute Darstellung der Peaks und Tälern zu erzielen. Jedoch können auch bei einer großen Anzahl noch Teile der Leistung eines Peaks verloren gehen. Als Alternative verwendet FlexPro ein Runge-Kutta-Verfahren, um das Spektrum adaptiv zu integrieren und speichert dabei die Punkte, die bei der Integration verwendet wurden. Diese stellen dann eine adaptive Menge von Frequenzwerten dar, die im Bereich der Peaks enger zusammen liegen.
Optionen - Beschriftungen (Nur im Analyseassistent)
Mit der Schaltfläche Beschriftungen können Sie die Y- und/oder X-Werte der Peaks im Spektrum anzeigen lassen. Die Peaks im Spektrum werden lokalisiert, indem zunächst ein Spektrum mit 8193 gleichverteilten Frequenzen durchsucht wird. Diese Peaks werden dann mittels eines eindimensionalen Optimierungsverfahrens unter Verwendung des stetigen ARMA-Modells justiert. Bei den Algorithmen ohne SVD wird jedes lokale Maximum als gültiger Peak betrachtet. Die Anzahl der Peaks kann deshalb maximal der halbem AR-Modellordnung entsprechen. Für die SVD-Routinen ist die Peak-Anzahl maximal gleich der Hälfte des Signal-Unterraum Wertes.
Anders als bei der FFT ist es nicht möglich, die Leistungen von Peaks zu vergleichen, indem man deren Höhe misst. Statt dessen sind die Flächen unter den Peaks ein Maß für die geschätzte Leistung.
Optionen - Referenz setzen/löschen (Nur im Analyseassistent)
Diese Funktion ermöglicht Ihnen den Vergleich verschiedener Spektralprozeduren und Einstellungen. Mit der Schaltfläche Referenz setzen wird eine Kopie des aktuell angezeigten Spektrums in der unteren Fensterebene angezeigt. Anschließend können Sie weitere Einstellungen vornehmen, die sich auf die Darstellung in der oberen Ebene auswirken. Mit Referenz löschen entfernen Sie die Kopie und das Zeitsignal wird wieder angezeigt.